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展開

前回の記事の続き。

「n個の合同な正三角形が辺を共有して組み合わせることでできる多角形で、
外周に方向がついたもの」

の集合をT[n]と定義しました。
無理矢理名前つけてみると、「有向多角形のn次正三角形分割」とかでしょうか。

数学は基本的に定義と定理・証明の羅列で構成されてるわけですが、
定理と証明については普通に勉強してれば自力で作る訓練ができるけど、
"定義"の部分って自分でやることは学部生程度だとなかなか無いと思うのです。

俺は数学に関しては全くの素人ですけど、今回こういう素材を思いついたのでちょっとだけそれっぽい試みをしてみたかったのです。
さて、前回出した次の命題について考えます。


命題A:
任意のnについて
T[n]に含まれる多角形の内部の三角形の全ての辺に方向を定めたとき
その中に少なくとも一つT[1]に含まれるものが存在する


n=2, 3, 4についてこの命題が成り立つことは前回示したわけですが、
一般のnではどうなのかという話。

さて、これに対して次のような「証明」を与えました。


証明:
数学的帰納法で示す。

(i) n=1のとき、T[n] = T[1] より、T[n]の要素でそれ自身T[1]の要素であるものが存在する。

(ii)
任意のT[k]の要素方向付けに必ずT[1]の要素が含まれるならば
任意のT[k+1]の要素の方向付けに必ずT[1]の要素が含まれる

これについては、その対偶
「T[1]の要素を含まない方向付けをもつT[k+1]の要素が存在するならば
T[1]の要素を含まない方向付けをもつT[k]の要素も存在する」 ・・・(*)
を考える


どの三角形もT[1]とならないように方向付けがされたT[k+1]の要素が与えられたとする。
この図形の端に注目すると

edge

このように、他の三角形と一辺しか共有しない三角形が存在する。
(グレーの部分は任意。また、三辺の方向が全て逆でもよい)
(※ここが大嘘!全ての三角形が二辺を他と共有する図形もある。反例参照)

これを

T[k+1]からT[k]の構成


このように分離してやることで、「T[1]の要素を含まないように方向付けられたT[k]の要素」が得られる。
よって(*)が成り立つ

以上(i)(ii)から、数学的帰納法により補題が成り立つことが示される
証明終了





とまぁ、反例見つけるまでこれで証明した気になってたんですけど。

実はこの証明は間違っており、この命題は偽です。
よっぽど暇な人はどこが間違いか探してみてください。
答えは証明中の、間違っている部分の近くを反転するとわかります。


反例はこちら
反例



んで実際のところ真偽はどうなるのよ、という話についてはもう少し考えてみることにします。
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